İsmini Cebrail'den alan garip bir matematik fenomeni: Gabriel's Horn. En ilginç özelliği, hacmi sonlu iken yüzey alanının sonsuz olması. İlk etapta benim de beynimi yaktı ama düşününce gayet mantıklı bir açıklaması var.

Gabriel's Horn, kısaca 1/x fonksiyonunun, x > 1 için x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu bir şekildir.

Hacmi bulmak için, π × ∫[1, ∞] (1/x)² dx ifadesini kullanıyoruz. Bu, -1/x fonksiyonunun belirli integrali:

• Üst sınır (x → ∞) için -1/x → 0

• Alt sınır x = 1 için -1/1 = -1

  
  

Sonuç: 0 - (-1) = 1π ile çarpınca hacim = π oluyor.

Yani sonlu bir hacim elde ediyoruz.

Ancak yüzey alanı bambaşka bir hikâye. Bu şekil, bir silindir gibi düz yüzeylerden değil, sonsuz sayıda küçük eğimli yay parçasından oluşuyor. Silindir olsaydı, yan yüzey alanı için basitçe 2πrh formülünü kullanırdık. Fakat Gabriel's Horn’da durum farklı.

Burada, yüzey alanını hesaplarken şekli çok ince dikey şeritlere ayırıyoruz. Her bir şerit için yarıçapı f(x) = 1/x veriyor. Ancak önemli olan bu şeritlerin gerçek uzunluğu, yani eğrinin yay uzunluğu.

Bu noktada eğriyi sonsuz küçük parçalara ayırıp, her birini bir üçgenin hipotenüsü gibi düşünmemiz gerekiyor. Buradan hareketle Pisagor Teoremi'ni kullanıp, bu sonsuz küçük eğrilerin uzunluklarını integralle topluyoruz.

İşte tam burada işin rengi değişiyor: bu integral, doğal logaritma fonksiyonuna dönüşüyor ve sonuç sonsuz çıkıyor.

Sonuç olarak:

• Gabriel's Horn’un hacmi sonlu (π)

• Yüzey alanı ise sonsuz

  
  

Bu paradoksal durum, analitik geometri ve sonsuzluk kavramları üzerine harika bir düşünce egzersizi. “Bir cismi boyamak için yüzey alanı sonsuz ama içini doldurmak için gereken hacim sonlu” diyebiliriz.